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Zahlenscheu kann tödlich enden

on 29. April 2013

Das Errechnen eines Erwartungswertes in den fünf besprochenen Schritten mag sich als aufwendig herausstellen. Dass es aber dennoch wichtig ist, nach dem Erwartungswert vorzugehen, zeigt der vorangehende Artikel.

Deshalb folgt nun ein Beispiel aus dem medizinischen Alltag (in Anlehnung an „Das Bayestheorem und der Base-Rate-Fehlschluss“):

(1) Peter erhielt soeben ein positives Testergebnis, welches besagt, dass er an einer Krankheit leide, welche bei 1% der mit ihm vergleichbaren Menschen auftritt. Als entscheidendes Kriterium für das weitere Vorgehen zählt sein Überleben.

(2) Seine Ärztin klärt ihn über die Schwächen des Tests auf. 10% der Gesunden werden als krank verzeichnet, während 5% der Kranken als gesund erfasst werden. Auch verkündet sie, dass sich diese Krankheit nur operativ behandeln lässt. Des Weiteren listet sie ihm die Risiken auf, welche eine allfällige Operation mit sich bringen würde:
Wird ein Kranker operiert, so liegen seine Überlebenschancen bei 95%. Ein Gesunder, der die Operation vergebens durchführt, überlebt diese mit einer Wahrscheinlichkeit von 99%. Das Ablehnen einer Operation führt beim Kranken in 30% der Fälle zum Tod, beim Gesunden nie.

(3) Nun weiss Peter, dass er entscheiden muss, ob er sich operieren lässt oder nicht. Deshalb notiert er sich für das übersichtliche Zuweisen von Wahrscheinlichkeiten folgende Baumdiagramme:

 

Grafik1_2

K= Krank; OP=operiert; U=Überleben; ~X = \dpi{100} \bar{X} = Gegenereignis von X

Für die Wertung der möglichen Ereignisse ordnet Peter dem Outcome \dpi{100} U den Wert \dpi{100} W(U)=1 zu, dem Outcome \dpi{100} \bar{U} hingegen den Wert \dpi{100} W(\bar{U})=-1.

(4) Da noch unklar ist, ob Peter überhaupt erkrankt ist, möchte er vorerst die Wahrscheinlichkeit \huge \dpi{50} P(K|+) herausfinden. Dazu geht er nach dem Bayestheorem vor:

\huge \dpi{50} P(K|+)= \frac{P(+|K)P(K)}{P(+)}  \huge \dpi{50} \approx 0.088

Diese Rechnung liefert ihm eine Wahrscheinlichkeit von 8.8%, dass er krank ist.

Um den Erwartungswert der Pfade „operieren“ mit „nicht operieren“ zu vergleichen, kann er nun die Wertungen der Ereignisse betrachten. Da sich der Erwartungswert immer aus der Wahrscheinlichkeit multipliziert mit dem Ausmass errechnen lässt, schlägt Peter folgendes Vorgehen vor:

\dpi{100} E(U|OP)= P(K)*P(U|OP, K)*W(U) + P(K)*P(\bar{U}|OP, K)*W(\bar{U}) + P(\bar{K})*P(U|OP,\bar{K})*W(U) + P(\bar{K})*P(\bar{U}|OP, \bar{K})*W(\bar{U})

Entsprechend lässt sich dies auch für \dpi{100} E(U|\bar{OP}) ausformulieren. Nun vergleicht er \dpi{100} E(U|OP)= 0.973 mit \dpi{100} E(U|\bar{OP})= 0.9472

(5) Es folgt: \dpi{100} E(U|OP)>E(U|\bar{OP}); also entscheidet sich Peter für die Operation.

 

Ein weiterer Lösungsansatz der Decision Analysis würde Peter zusätzlich noch die allgemeine Information liefern, ab welcher \dpi{100} P(K|+) es sich denn lohnen würde, zu operieren.

Dazu berechnet er eine neue \dpi{100} P_{neu}(K|+), bei welcher das Operieren wie auch das Nicht-Operieren identische Überlebenswahrscheinlichkeiten aufweisen. Dies lässt sich beispielsweise so formulieren:

\dpi{100} P(U|OP)=P(U|\bar{OP}). Das Lösen dieser Gleichung nach \dpi{100} x (wobei Peter als \dpi{100} x die gesuchte \dpi{100} P_{neu}(K|+) verwendet) führt zu einem Wert von 3.8%.

Da seine \huge \dpi{50} P(K|+) mit 8.8% diesen Schwellwert übersteigt, darf er sich nun guten Gewissens für die Operation entscheiden.

Können wir auf den Erwartungswert verzichten?

Das obige Beispiel mag unwahrscheinlich erscheinen. In der Tat, in den wenigsten Fällen verfügt der rational Entscheidende über die Zahlenwerte sämtlicher benötigten Parameter. Doch das Beispiel beschreibt einen Soll-Wert für das Konzept der Entscheidungsfindung. Welche Entscheidung sich als die zielführendste herausstellt, wird in der Decision Analysis für Anwendungen mit quantitativen Unsicherheiten behandelt.

Auch wenn Max sein „Bauchgefühl“ mitunter zu einem Entscheidungskriterium macht, und sich dieses nur schwer in Zahlen fassen lässt, können wir retrospektiv eine quantitative Aussage über diesen Parameter machen:

Angenommen, Max befindet sich in der gleichen Situation wie Peter, aber er entscheidet sich gegen die Operation; dann können wir berechnen ab welcher minimalen Gewichtung des Bauchgefühls diese Entscheidung hervorgerufen wird. Max kann sich dem Entscheidungsmodell also nicht entziehen. Er darf zwar qualitative Kriterien in das Modell einschleusen; aber diese offenbaren mit der getroffenen Entscheidung immer auch ihren quantitativen Aspekt.

Wir können die Zahlen, welche unseren Entscheidungen zugrunde liegen, nicht verneinen; wir können sie bloss ignorieren. Am Eintreten der Konsequenzen unserer Entscheidungen ändert das Wegschauen jedoch nichts. Und wenn diese Konsequenz unseren Zielen entsprechen sollen, täten wir gut daran, alle verfügbaren Informationen zu verwenden – Zahlenscheu ist da fehl am Platz.

Serie: Erwartungswert und Entscheidungen

Und übrig bleibt die Null
Hohe Erwartungen an den Erwartungswert
Zahlenscheu kann tödlich enden