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Das Dutch-Book-Argument: Weshalb Kohärenz rational ist

GBS Schweiz on 9. Januar 2013

Eine der Bedingungen für Rationalität ist, dass die Überzeugungs- oder Glaubensgrade, mit denen ein vollkommen rationaler Denker verschiedene Aussagen für wahr hält, keine Widersprüche erzeugen, also kohärent sind. Seine Glaubensgrade sollten den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitstheorie folgen. Doch was sind diese Gesetze?

Kolmogorovs Axiome

Das Fundament der Wahrscheinlichkeitstheorie bilden die Axiome, die der russische Mathematiker Andrey Kolmogorov (1903–1987) formulierte. Für jede beliebige Aussage p können wir von der Wahrscheinlichkeit P (für probability) sprechen, dass der Fall ist. Wenn eine Aussage beispielsweise lautet, dass Max heute ins Kino geht, steht P(Max geht heute ins Kino) für die Wahrscheinlichkeit, dass die Aussage zutrifft. Kolmogorov identifizierte folgende Bedingungen, die jede Wahrscheinlichkeitszuschreibung erfüllen muss:

(1) Für jede Aussage p, 0 ≤ P(p) ≤ 1

In unserem Beispiel bedeutet dies, dass P(Max geht heute ins Kino) eine Zahl zwischen 0 und 1 sein muss.

(2) Wenn mit Sicherheit wahr ist, P(p) = 1

Wenn es sicher ist, dass Max heute ins Kino gehen wird, ist P(Max geht heute ins Kino) = 1.

(3) Wenn und q inkompatibel sind, P(oder q) = P(p) + P(q)

Wenn zwei Aussagen und nicht gleichzeitig wahr sein können, also wenn Max heute beispielsweise nicht sowohl ins Kino als auch zum Fussballspiel gehen kann, dann gilt: P(Max geht heute ins Kino oder zum Fussballspiel) = P(Max geht heute ins Kino) + P(Max geht heute ans Fussballspiel). Diese drei Grundregeln sind Kolmogorovs Axiome. Eine nützliche Konsequenz, die wir sofort daraus ziehen können, ist:

(4) P(nicht-p) = 1 – P(p)

Woran sehen wir das? Nun, wir wissen, dass und nicht-p inkompatibel sind. Axiom (3) ermöglicht uns also folgenden Schluss:

P(oder nicht-p) = P(p) + P(nicht-p)

Der linke Teil dieser Gleichung, P(oder nicht-p), ist aber mit Sicherheit wahr, weshalb wir mit Axiom (2) sagen können:

P(oder nicht-p) = 1

Und wir erhalten (4), wenn wir die rechten Seiten der beiden letzten Gleichungen miteinander vergleichen.

Das Dutch-Book-Argument

Nach diesem etwas technischen Präambel sind wir in der Lage zu zeigen, weshalb ein rationaler Denker kohärente Glaubensgrade aufweisen sollte.

 

kohaerenz

Der entscheidende Punkt ist das sogenannte Dutch-Book-Argument. Was soll der Name? Nun, Wettanbieter (auf Englisch: bookmakers, kurz: bookies) streben idealerweise danach, mit ihren Kunden ein „Dutch Book“ abzuschliessen (der Ursprung des Begriffs ist umstritten; aber niederländische Händler galten im 17. Jh. als besonders gerissen). Das bedeutet, dass sie z.B. bei Pferderennen ihre Kunden dazu bringen möchten, eine Gruppe von Wetten abzuschliessen, die für den Wettanbieter auf jeden Fall gewinnbringend sind – unabhängig davon, welches Pferd das Rennen macht. Ein „Dutch Book“ ist eine Kombination von Wetten, die garantiert gewinnt – egal, was passiert.

So ist in einem Zwei-Pferde-Rennen zwischen Aramis und Red Rum dem Wettanbieter der Gewinn sicher, wenn 100 Franken bei einer Quote von 1:1 auf Aramis und 120 Franken bei einer Quote von 2:1 auf Red Rum gesetzt wurden (1:1 bedeutet, dass man 1 Franken setzt, um 1 Franken zu gewinnen; bei 2:1 setzt man 2 Franken, um 1 Franken zu gewinnen). Bei dieser Wettengruppe verdient der Wettanbieter 20 Franken, wenn Aramis gewinnt (120 Franken Einsatz auf Red Rum minus die ausgezahlten 100 Franken für Aramis), und er verdient 40 Franken, wenn Red Rum gewinnt (100 Franken Einsatz auf Aramis minus die ausgezahlten 60 Franken für Red Rum).

Dass so etwas möglich ist, bedeutet noch nicht, dass die einzelnen Kunden irrational sind. Der Wettanbieter kann diesen Trick durchziehen, weil verschiedene Kunden den Ergebnissen verschiedene subjektive Wahrscheinlichkeiten zuteilen. In diesem Sinn verstösst das Kollektiv der Kunden gegen die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Allerdings gibt es keine Garantie dafür, dass wir uns individuell in unseren Glaubensgraden an die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie halten. Nichts in der Psychologie schliesst aus, dass jemand zu einem bestimmten Zeitpunkt die Aussage „Es wird regnen“ mit einem Glaubensgrad von 0.6 für wahr hält und gleichzeitig die Aussage „Es wird nicht regnen“ ebenfalls mit einem Glaubensgrad von 0.6 für wahr hält. Damit verstösst diese Person jedoch gegen eine direkte Implikation von Kolmogorovs Axiomen, nämlich gegen das Prinzip, dass P(p) = 1 – P(nicht-p). Es braucht dazu nicht viel: Man überlegt es sich nicht so genau und nimmt kurzerhand eine positive Einstellung gegenüber beiden Aussagen ein.

Nun kann aber jede Person, deren Glaubensgrade die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie verletzen, zum Opfer eines „Dutch Book“ werden. Daraus ergibt sich ein Argument, demgemäss rationale Glaubensgrade sich an die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie halten müssen, auch wenn es tatsächliche Glaubensgrade nicht immer tun.

Nehmen wir als Beispiel die Person, die zu einem Grad von 0.6 glaubt, dass es regnen wird, und gleichzeitig zu einem Grad von 0.6 glaubt, dass es nicht regnen wird. Diese Person würde unbesorgt bis zu 60 Rappen setzen, um bei Regen 1 Franken zu gewinnen; sie würde aber ebenso unbesorgt bis zu 60 Rappen setzen, um bei schönem Wetter 1 Franken zu gewinnen. Und jemand, der diese beiden Wetten mit je 60 Rappen eingeht, wird garantiert verlieren – ganz egal, was passiert: Diese Person hat nämlich insgesamt 1.20 Franken investiert und wird nur 1 Franken gewinnen, ob es nun regnet oder nicht. In diesem Beispiel wurde die Person Opfer eines „Dutch Book“, weil ihre Glaubensgrade bezüglich und nicht-p zusammen mehr als 1 ergaben.

Nun mag man vielleicht denken, dass man mit Glaubensgraden, die zusammen weniger als 1 ergeben, auf der sicheren Seite steht. Doch dann schnappt die gegenteilige Falle zu: Man könnte dazu verleitet werden, derart gegen und nicht-p zu wetten, dass man ebenfalls garantiert verliert.

Es scheint eindeutig irrational, eine Haltung einzunehmen, die garantiert Verlust nach sich zieht; und daraus folgt nun, dass ein rationaler Denker Glaubensgrade aufweisen wird, die sich an die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie halten. Dies bedeutet nichts anderes, als dass ein solcher Denker in seinen Glaubensgraden kohärent ist. Es gilt allerdings zu betonen, dass das Dutch-Book-Argument uns noch nichts darüber sagt, welche Glaubensgrade wir haben sollten – es fordert nur, dass sie die Wahrscheinlichkeitsaxiome nicht verletzen. Es fordert Kohärenz.